Цель работы

• Изучить принципы модели экспоненциального роста и её математическую основу
  
• Найти аналитическое решение соответствующего дифференциального уравнения
  
• Выполнить параметрическое исследование влияния коэффициента роста \(\alpha\)
  
• Проанализировать:
  • поведение функции \(u(t)\) во времени
    
  • зависимость времени удвоения \(T_2\)
    
  • особенности вычислительных затрат

Задание

• Рассмотреть модель экспоненциального изменения величины
  
• Разобрать её математическое описание
  
• Провести численный эксперимент при различных значениях \(\alpha\)
  
• Представить результаты в графическом виде

Дифференциальное уравнение

Экспоненциальная динамика задаётся уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Где:

• \(u\) — текущее значение исследуемой величины (например, численность или капитал)
  
• \(t\) — время
  
• \(\alpha\) — коэффициент роста
  • \(\alpha>0\) — увеличение
    
  • \(\alpha<0\) — спад

Решение и характеристики

Аналитическое решение:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Формула времени удвоения:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Основные особенности:

• при увеличении \(\alpha\) интенсивность роста возрастает
  
• время, необходимое для удвоения, сокращается

Базовый эксперимент (α = 0.3)

• Исследована динамика \(u(t)\) на заданном временном интервале
  
• График демонстрирует характерное ускорение роста

Влияние α на рост

• Проведены вычисления для значений:
  • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
    
• С увеличением \(\alpha\) наблюдается более быстрый рост системы

Время удвоения

Теоретическая формула:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

• Численные данные подтверждают аналитическую зависимость
  
• При увеличении \(\alpha\) время удвоения уменьшается

Время вычислений

• Проанализирована зависимость длительности расчётов от параметра \(\alpha\)
  
• Существенных изменений не наблюдается

Выводы

• Экспоненциальная динамика описывается уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

• Его аналитическое решение имеет вид:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

• Параметр \(\alpha\) определяет интенсивность роста системы
  
• Время удвоения определяется выражением:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

• Проведённые вычислительные эксперименты подтвердили теоретические закономерности
  
• При увеличении \(\alpha\):
  • рост становится более стремительным
    
  • время удвоения уменьшается
    
  • вычислительные затраты увеличиваются незначительно