Математическое моделирование

Лабораторная работа № 1

Максим Новичков

Российский университет дружбы народов

2026-02-12

Вводная часть

Цель работы

  • Изучить принципы модели экспоненциального роста и её математическую основу
  • Найти аналитическое решение соответствующего дифференциального уравнения
  • Выполнить параметрическое исследование влияния коэффициента роста \(\alpha\)
  • Проанализировать:
    • поведение функции \(u(t)\) во времени
    • зависимость времени удвоения \(T_2\)
    • особенности вычислительных затрат

Задание

  • Рассмотреть модель экспоненциального изменения величины
  • Разобрать её математическое описание
  • Провести численный эксперимент при различных значениях \(\alpha\)
  • Представить результаты в графическом виде

Теория: модель

Дифференциальное уравнение

Экспоненциальная динамика задаётся уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Где:

  • \(u\) — текущее значение исследуемой величины (например, численность или капитал)
  • \(t\) — время
  • \(\alpha\) — коэффициент роста
    • \(\alpha>0\) — увеличение
    • \(\alpha<0\) — спад

Решение и характеристики

Аналитическое решение:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Формула времени удвоения:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Основные особенности:

  • при увеличении \(\alpha\) интенсивность роста возрастает
  • время, необходимое для удвоения, сокращается

Эксперимент: базовый

Базовый эксперимент (α = 0.3)

  • Исследована динамика \(u(t)\) на заданном временном интервале
  • График демонстрирует характерное ускорение роста

Эксперимент: параметрическое исследование

Влияние α на рост

  • Проведены вычисления для значений:
    • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
  • С увеличением \(\alpha\) наблюдается более быстрый рост системы

Время удвоения

Теоретическая формула:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

  • Численные данные подтверждают аналитическую зависимость
  • При увеличении \(\alpha\) время удвоения уменьшается

Время вычислений

  • Проанализирована зависимость длительности расчётов от параметра \(\alpha\)
  • Существенных изменений не наблюдается

Итоги

Выводы

  • Экспоненциальная динамика описывается уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

  • Его аналитическое решение имеет вид:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

  • Параметр \(\alpha\) определяет интенсивность роста системы
  • Время удвоения определяется выражением:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

  • Проведённые вычислительные эксперименты подтвердили теоретические закономерности
  • При увеличении \(\alpha\):
    • рост становится более стремительным
    • время удвоения уменьшается
    • вычислительные затраты увеличиваются незначительно